Pour montrer qu'un nombre est un imaginaire pur (qu'il appartient à $i\R$ ), il suffit de montrer que sa partie réelle est nulle :

$$z= a + ib = ib$$

De manière plus générale, un nombre complexe $z$ est un imaginaire pur si et seulement si l'une des propriétés suivantes est réalisée :

• la partie réelle de $z$ est nulle ;
• $z$ est nul ou bien son argument vaut $\pi/2$ modulo $\pi$ ;
• $z = −z$ (où $z$ est le conjugué de $z$ ) ;
• Le nombre $iz$ est un réel ;
• $z^2$ est un nombre réel négatif.

Un imaginaire pur est un nombre complexe dont la partie réelle est nulle et la partie imaginaire non nulle. Autrement dit, un nombre complexe $z$ est un imaginaire pur s'il peut être écrit sous la forme $z = i b$, où $b$ est un nombre réel non nul.

Étapes pour montrer qu'un nombre est un imaginaire pur

Soit $z = a + i b$, où $a$ et $b$ sont des réels. Voici les étapes pour déterminer si $z$ est un imaginaire pur :

1. Vérifier la partie réelle : La partie réelle $a$ doit être égale à zéro. Cela signifie que le nombre $z$ doit être de la forme $z = i b$.

   $$\text{Si } a = 0, \text{ alors } z = i b.$$

2. Vérifier la partie imaginaire : La partie imaginaire $b$ doit être non nulle. Cela signifie que $b \neq 0$.

Exemple

Prenons le nombre $z = 0 + 5i$.

1. La partie réelle est $0$, donc $a = 0$.
2. La partie imaginaire est $5$, ce qui est non nul.

Ainsi, $z = 0 + 5i = i \cdot 5$ est un imaginaire pur.

Résumé

Pour montrer qu'un nombre est un imaginaire pur, il faut :

• Que la partie réelle soit nulle,
• Que la partie imaginaire soit non nulle.

Si ces deux conditions sont remplies, alors le nombre est un imaginaire pur.