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Calculer 1/4(e(6ipi)/5+e(-6ipi)/5+e(2ipi)/5+e(-2ipi)/5) en écriture trigonométrique détaillée
alphonsio

L'expression sous forme trigonométrique détaillée est :

14(e6iπ5+e−6iπ5+e2iπ5+e−2iπ5)=12(cos⁡(6π5)+cos⁡(2π5))\frac{1}{4} \left( e^{\frac{6i\pi}{5}} + e^{-\frac{6i\pi}{5}} + e^{\frac{2i\pi}{5}} + e^{-\frac{2i\pi}{5}} \right) = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{6\pi}{5}\right) + \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)\right)

Méthode 1

Pour calculer l'expression 14(e6iπ5+e−6iπ5+e2iπ5+e−2iπ5)\frac{1}{4} \left( e^{\frac{6i\pi}{5}} + e^{-\frac{6i\pi}{5}} + e^{\frac{2i\pi}{5}} + e^{-\frac{2i\pi}{5}} \right) en écriture trigonométrique, nous allons utiliser la formule d'Euler qui relient les exponentielles complexes aux fonctions trigonométriques :

cos(x)=eix+e−ix2cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}

De cette expression, nous pouvons reformuler que les termes suivants :
e6iπ5+e−6iπ5=2cos(6π5)e^{\frac{6i\pi}{5}} + e^{-\frac{6i\pi}{5}} = 2cos\left(\frac{6\pi}{5}\right)

et :

e2iπ5+e−2iπ5=2cos(2π5)e^{\frac{2i\pi}{5}} + e^{-\frac{2i\pi}{5}} = 2cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)

En remplaçant ces termes dans l'expression générale, nous obtenons :

14(e6iπ5+e−6iπ5+e2iπ5+e−2iπ5)\frac{1}{4} \left( e^{\frac{6i\pi}{5}} + e^{-\frac{6i\pi}{5}} + e^{\frac{2i\pi}{5}} + e^{-\frac{2i\pi}{5}} \right)

=14(2cos(6π5)+2cos(2π5))= \frac{1}{4} \left( 2cos\left(\frac{6\pi}{5}\right) + 2cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) \right)

=24(cos(6π5)+cos(2π5))= \frac{2}{4} \left( cos\left(\frac{6\pi}{5}\right) + cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) \right)

Ainsi, l'expression sous forme trigonométrique détaillée est :

12(cos⁡(6π5)+cos⁡(2π5))\frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{6\pi}{5}\right) + \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)\right)

Méthode 2

Pour calculer l'expression 14(e6iπ5+e−6iπ5+e2iπ5+e−2iπ5)\frac{1}{4} \left( e^{\frac{6i\pi}{5}} + e^{-\frac{6i\pi}{5}} + e^{\frac{2i\pi}{5}} + e^{-\frac{2i\pi}{5}} \right) en écriture trigonométrique, commençons par exprimer chaque terme en utilisant les identités d'Euler.

Les identités d'Euler nous donnent l'expression pour un nombre complexe en exponentielle :

eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta

et

e−iθ=cos⁡θ−isin⁡θe^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta

Ainsi, nous avons :

  1. e6iπ5=cos⁡(6π5)+isin⁡(6π5)e^{\frac{6i\pi}{5}} = \cos\left(\frac{6\pi}{5}\right) + i\sin\left(\frac{6\pi}{5}\right)

  2. e−6iπ5=cos⁡(−6π5)+isin⁡(−6π5)e^{-\frac{6i\pi}{5}} = \cos\left(-\frac{6\pi}{5}\right) + i\sin\left(-\frac{6\pi}{5}\right)

    or

    e−6iπ5=cos⁡(6π5)−isin⁡(6π5)e^{-\frac{6i\pi}{5}} = \cos\left(\frac{6\pi}{5}\right) - i\sin\left(\frac{6\pi}{5}\right)

  3. e2iπ5=cos⁡(2π5)+isin⁡(2π5)e^{\frac{2i\pi}{5}} = \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)

  4. e−2iπ5=cos⁡(−2π5)+isin⁡(−2π5)e^{-\frac{2i\pi}{5}} = \cos\left(-\frac{2\pi}{5}\right) + i\sin\left(-\frac{2\pi}{5}\right)

    or

    e−2iπ5=cos⁡(2π5)−isin⁡(2π5)e^{-\frac{2i\pi}{5}} = \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) - i\sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)

Additionnons les termes :

e6iπ5+e−6iπ5=2cos⁡(6π5)e^{\frac{6i\pi}{5}} + e^{-\frac{6i\pi}{5}} = 2\cos\left(\frac{6\pi}{5}\right)

e2iπ5+e−2iπ5=2cos⁡(2π5)e^{\frac{2i\pi}{5}} + e^{-\frac{2i\pi}{5}} = 2\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)

En additionnant ces résultats, on obtient :

=2cos⁡(6π5)+2cos⁡(2π5)= 2\cos\left(\frac{6\pi}{5}\right) + 2\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)

Prenons 14\frac{1}{4} de cette somme :

14(2cos⁡(6π5)+2cos⁡(2π5))=12(cos⁡(6π5)+cos⁡(2π5))\frac{1}{4}(2\cos(\frac{6\pi}{5}) + 2\cos(\frac{2\pi}{5})) = \frac{1}{2}(\cos(\frac{6\pi}{5}) + \cos(\frac{2\pi}{5}))

Ainsi, l'expression sous forme trigonométrique détaillée est :

12(cos⁡(6π5)+cos⁡(2π5))\frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{6\pi}{5}\right) + \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)\right)