La fonction est bijective sur l’ensemble .
Pour démontrer la bijectivité, nous allons montrer qu’elle admet pour tout une unique solution dans son ensemble d’arrivée, ici .
Pour y parvenir, nous allons poser un changement de variable .
Nous allons donc montrer que la fonction n'admet qu'une unique solution avec .
Résolvons l'équation , d'inconnue . Pour cela, nous posons .
Pour rappel, , donc . Ce point est important pour la suite.
En utilisant la relation , on peut écrire :
Il existe donc deux solutions pour :
Pour tout , , étant donné que ).
ne peut pas être solution car , or .
De la même façon, , donc .
est donc solution de , car .
Ainsi, pour tout , l'équation possède une unique solution :
Donc, en conclusion, est bijective et sa réciproque est
En résumé, la fonction est bijective sur l’ensemble .
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