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Comment démontrer que la fonction (e(x)-e(-x))/2 est bijective sur l’ensemble R
alphonsio

Graphique de la fonction sinh

La fonction exex2\frac{e^x - e^{-x}}{2} est bijective sur l’ensemble R\mathbb{R}.
Pour démontrer la bijectivité, nous allons montrer qu’elle admet pour tout xRx \in \R une unique solution yy dans son ensemble d’arrivée, ici R\R.

Pour y parvenir, nous allons poser un changement de variable X=exX=e^x.


Nous allons donc montrer que la fonction f(x)=yf(x)=y n'admet qu'une unique solution avec yRy \in \R.

Résolvons l'équation f(x)=yf(x)=y, d'inconnue xRx \in \R. Pour cela, nous posons X=exX=e^x.
Pour rappel, ex>0e^x>0, donc X>0X>0. Ce point est important pour la suite.

f(x)=exex2X1X=2yf(x)= \frac{e^x-e^{-x}}{2} \Longleftrightarrow X-\frac{1}{X}=2y
X22Xy1=0X^2 - 2Xy -1 =0
En utilisant la relation (Xy)2=X2+y22Xy(X-y)^2 = X^2 + y^2 -2Xy, on peut écrire :

(Xy)2y21=0(X-y)^2 -y^2 - 1 = 0
(Xy)2=y2+1(X-y)^2 = y^2+1

X=y±y2+1X = y \pm \sqrt{y^2 + 1}

Il existe donc deux solutions pour XX :

X1=y+y2+1X2=yy2+1\begin{align*} X_1 &=& y + \sqrt{y^2 + 1} \\ X_2 &=& y - \sqrt{y^2 + 1} \end{align*}

Analyse de X2X_2

Pour tout yRy \in \R, X2=yy2+1<0X_2 = y - \sqrt{y^2 + 1} <0, étant donné que yy2<y2+1y \leq \sqrt{y^2} < \sqrt{y^2+1} ).
X2X_2 ne peut pas être solution car X=ex>0X=e^x >0, or X2<0X_2<0.

Analyse de X1X_1

De la même façon, y+y2+1>0y+\sqrt{y^2+ 1} > 0, donc X=y+y2+1X = y + \sqrt{y^2 + 1}.
X1X_1 est donc solution de f(x)=yf(x)=y, car X1>0X_1>0 .

Conclusion

Ainsi, pour tout yRy \in \R, l'équation possède une unique solution :

x=ln(y+y2+1)x = ln(y + \sqrt{y^2+1})

Donc, en conclusion, ff est bijective et sa réciproque est f1:{RRxln(y+y2+1)f^{-1} : \begin{cases} \R \rightarrow \R \\ x \rightarrow ln(y + \sqrt{y^2+1}) \end{cases}

Fonction réciproque de (e(x)-e(-x))/2

En résumé, la fonction exex2\frac{e^x - e^{-x}}{2} est bijective sur l’ensemble R\mathbb{R}.

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